Норберт Винер. Я — математик

скачать в формате pdf (2,7 Мб)

Книга Винера о его жизни в науке, о его становлении в ней и взрослых годах. Является продолжением книги «Бывший вундеркинд«, которая рассказывала о детстве Винера. Как автобиография это не очень интересная книга. Вернее было бы сказать, что есть более достойные образцы, например, книги Фейнмана.

Интересна скорее тем, что показывает внутреннее устройство сообщества учёных-математиков, и насколько увлекательна и красива может быть математика в глазах этого учёного. Кроме того, благодаря этой книге можно проследить, как Винер зародил новую науку — кибернетику. Можно сказать, что он неосознанно шёл к ней с самого начала своей научной карьеры, но всё же решающими оказались его работы в области противооборонных систем, которые могли бы поражать движущиеся объекты (самолёты). Именно тогда чётко оформились его идеи об обратной связи.

Anthony Ashton. Harmonograph: A Visual Guide to the Mathematics of Music (2003)

скачать в формате pdf (7,8 Мб)

Занятная брошюра. Вначале устанавливается связь между частотами звуков и интервалами, которые они образуют (двукратному повышению частоты соответствует октава). Дальше рассказывается о других простых интервалах (например, соотношение 3:2 — чистая квинта, 4:3 — чистая кварта и т. д.) и о том, каким образом из этих интервалов можно составить октаву. Аналогичным образом объясняется отличие различных ладов (ионийский, дорийский, лидийский и т. д.). Всё это, конечно, довольно бегло, но какое-то представление даёт. В том числе объясняется, почему на самом деле в настоящее время октава делится на 12 одинаковых полутонов (с отношением частот 2^1/12 ≈1,05946), из которых и формируются остальные интервалы, то есть в итоге получится так, что соотношение 3:2 будет немного отличаться от того, что мы понимаем под чистой квартой, и мне стоило взять эти интервалы в кавычки.

Ну а дальше идут рисунки, визуализирующие всё вышесказанное. В основном это фигуры Лиссажу, которые получаются путём сложения двух гармонических колебаний с помощью гармонографа. Выглядит это как-то так:

Также упоминаются фигуры Хладни (на пластинку насыпан песок и под действием вибрирующей пластинки песок образует различные фигуры) и калейдофон (металлический стержень закреплен только с одной стороны и при вибрации вычерчивает различные фигуры).

Лучше посмотрите видео, всё станет понятно:
Фигуры Хладни
Гармонограф в действии

P. S. Если вам интересна именно геометрическая сторона дела, рекомендую обратить внимание на всю серию Wooden Books.

Ричард Докинз и Станислав Лем: точки соприкосновения

Прочитал на днях книжку «Бог как иллюзия» за авторством Ричарда Докинза. Английский оригинал и перевод на русский можно скачать здесь. К чтению этой книги (и её покупки) меня побудило имя автора, известного мне (и не только мне) по книге «Эгоистичный ген». Купился, что говорят.

Сама по себе книга неплоха и пятьсот с лишним страниц посвящены, как можно догадаться по названию, тому, что вероятность существования бога (понимаемом в креационистском смысле, то есть речь идёт о персонализированном боге, который бы имел намерение создать этот мир) крайне мала, а вера приносит больше отрицательных сторон, чем положительных. Но, честно говоря, довольно быстро надоедает читать. Если ты атеист и ты мыслишь примерно как Докинз, то ты просто соглашаешься с тем, что он пишет, если ты верующий, то я сильно сомневаюсь в том, что эта книга способна поменять твое мировоззрение.

В это же время я прочитал сборник произведений Станислава Лема под общим названием «Библиотека XXI века». В него вошли сборники «Абсолютная пустота», «Мнимая величина», «Голем XIV», «Провокация», собственно «Библиотека XXI века» и рассказ «Записки всемогущего». Все эти произведения написаны в интересной литературной форме: это либо рецензии на вымышленные книги, которые могли бы быть написаны, либо предисловия к таким книгам. Все посвящены тем или иным философским вопросам.

Среди этих литературных апокрифов (как их сам назвал Лем) я хочу сейчас выделить эссе «Не буду служить» (прочитать можно, например, здесь, остальные эссе думаю, тоже легко найти). Там описывается такая ситуация: ученые научились создавать искусственный разум, который существует в каком-то математическом пространстве, научились создавать даже множество разумов, сосуществующих в этом мире, и наблюдают за тем, как целые поколения сменяют друг друга в этом мире. Сами учёные никак в жизнь этих существ не вмешиваются и никак не сообщают о своём существовании. Среди этих существ, как и среди нас, есть те, кто верит в Творца, и те, что нет. Между ними возникает интересный диалог и… прочитайте рассказ. Как мне кажется, он стоит гораздо большего, чем вся книжка Докинза.

Это не единственное эссе Лема, где он рассуждает на теологические темы. Но раз уж выше мы говорили о Докинзе, то я упомяну другое. Дело в том, что Докинз широко известен благодаря своему взгляду на эволюцию, как на историю эгоистичных генов — то есть важнейшим является не выживание отдельных видов, а сохранение генов (и возможно большее число их носителей). Человек при таком взгляде — не больше, чем удачный носитель этих генов. Ему же принадлежит авторство понятия «мем» — какая-то единица человеческой культуры, участвующая уже в «культурной эволюции». Книга «Эгоистичный ген» написана Докинзом в 1976 году. А теперь прочитайте «Вступительную лекцию Голема», которая написана Лемом в 1973 году, и вы увидите, что все эти идеи тем или иным образом уже присутствовали там.

Умберто Эко. Поиски совершенного языка в европейской культуре

скачать в формате pdf (4,0 Мб)

Эта книга — исторический очерк о поисках совершенного языка в Европе, о том, как менялись представления, что есть совершенный язык. Подчеркну, что книга является именно историческим обзором, а Умберто Эко сознательно старается дистанцироваться от событий, которые он описывает, оставляя решение о том, была ли хороша та или иная идея, на суд читателей.

Он начинает обзор с библейского «Бытия», в котором присутствуют фразы типа «И назвал Бог свет днём, а тьму ночью…», история о том, как Адам дал имена всем животным и прочие указания на некий язык. Сюда же относится история о Вавилонской башне, во время постройки которой произошло смешение языков. Эти обстоятельства давали пищу для умов мыслителей. Так, по одной распостранённой версии, праязыком был еврейский. И некоторые даже специально ставили эксперименты: запрещали кому-либо разговаривать с новорожденными и думали, что без внешнего влияния эти дети несомненно заговорят по еврейски. Обычно эти дети умирали в раннем возрасте. По другой версии Адам общался с Богом и тварями каким-то невербальным образом, а первый речевой акт, диалог, состоялся между Евой и змеем. Были и другие версии.

Позже, в книге конечно же пишется о том, что появились мнения, что материнский, праязык, не обязательно должен быть совершенным языком. Напротив, он мог быть несовершенным, основываться во многом на чувствах, а не разуме, а это (если смотреть иначе на то, что же такое «совершенный» язык, считать, что совершенный язык, должен однозначно, недвусмысленно выражать мысль) говорит вовсе не в его пользу.
Праязык — это одно, универсальная грамматика — это другое, совершенный язык — третье.

Дальше следует рассказ о Каббале. Она основывается на специальном прочтении Торы, которое включает в себя три метода: нотарикон, гематрия и темура. Нотарикон — это метод акростиха, когда из начальных букв слов составляется другое слово. Гематрия основана на том, что по-еврейски числа обозначаются знаками алфавита, значит для каждого слова можно составить сумму, и если эти суммы совпадают для двух слов, имеющих различный смысл, между ними можно установить связь. Темура аналогична анаграммам с учётом того, что в еврейском можно вдобавок различным образом вставлять гласные в слова, т. к. на письме остаются только согласные.
Благодаря чему возможно такое специальное прочтение Торы и почему текст, который можно прочитать в ней обычным образом, — это не то, что хотел сказать Бог? Некоторые каббалисты считают, что перед Богом были сразу все буквы Торы, ещё не соединённые в слова, но из-за греха Адама буквы перемешались случайным образом и теперь в них надо искать тайный смысл.

В следующей главе речь идет о Дантовском совершенном языке. Данте считал, что частично совершенный язык находится в языке и диалектах обычных людей. И задача поэта отобрать лучшее из этого и запечатлеть этот совершенный, блистательный (по Данте) язык в произведениях.

В последующих главах рассказывается об «Ars Magna» — «Великом искусстве» Раймунда Луллия (за десятью буквами закрепляются специальные значения, а затем эти буквы комбинаторным способом сочетаются в последовательности, и так как мы получаем все возможные комбинации, с помощью этого способа можно вывести любую мысль), об образных языках (в основном об египетском и китайских языках. Считали, что образы, иероглифы могут вернее выразить мысль), о полиграфиях (каждое слово [и возможно признаки времени, числа и т. д.] каким-то образом кодируется [например, числами] и для каждого языка составляется таблица соответствий «слово — число», поэтому один раз закодировав некоторый текст, зная только один язык, этот текст сможет прочитать любой другой человек, который знает тот язык, для которого составлена такая таблица. От этой примитивной идеи недалеко до простейшего машинного перевода), о стеганографиях (сейчас мы бы назвали это криптографией), об априорных философских языках и о том, во что это вылилось у Уилкинса и Лейбница.

Глава, которая предшествует заключению, посвящена международным вспомогательным языкам и мыслям о том, нужен ли такой язык (если язык формирует способ нашего мышления и каждый язык — это отдельный, особый взгляд на вселенную, то проблема сохранения языка должна стоять превыше, чем, например, проблема экологического загрязнения), и что распостранённость этого языка будет в большей степени обусловлена не тем, насколько он универсален, прост, или какими-то другими качествами этого языка, а то, что для распостранения такого языка нужна политическая воля, когда инструкции для стиральных машин будут включать себя и этот специальный язык, когда по телевидению один час в день будут идти передачи на этом языке, и т. д. Среди множества синтетических языков, созданных для естественного общения, Эко выбрал волапюк и эсперанто, и подробно рассказывает именно об этих двух. Как выяснилось (для меня), Людвик Заменгоф, создатель эсперанто, думал о подобном языке с раннего детства. Дело в том, что он родился в Белостоке в Польше, тогда это было территорией Российской империи, основную часть жителей составляли евреи, а остальные были поляки, немцы и белорусы. И между жителями постоянно происходили какие-то стычки, притеснение одних другими и т. д. Заменгоф думал, что они не могут найти общего языка, потому что у них нет общего языка (такой вот каламбур). Так и родилось его желание создать эсперанто.

В общем, как и всегда у Эко, богатство материала и тщательная его проработка.

Имре Лакатос. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ

Здесь можно почитать в электронном виде.

Пожалуй, самая известная работа Лакатоса. Мне кажется, что в предыдущих двух записях достаточно сказано о его методологии научно-исследовательских программ. Достаточно сказать, что если в других работах Лакатос говорит на данную тему постольку поскольку, то здесь он развивает свои тезисы намного серьёзнее. Серьёзнее и его критика в адрес Поппера, Куна и Фейерабенда.

Поэтому мне было интереснее читать примеры из истории науки, которые он приводит в качестве доказательств, о том, как он смотрит на «решающие» эксперименты Майкельсона-Морли
и Луммера-Прингсгейма, о том, что по его мнению многие такие «решающие» эксперименты признавались решающими много позже, чем они были поставлены.

Больше меня волнует такой вопрос. Почему мало кто из тех философов науки, которые предлагают собственную методологию, не применяют её на практике? Я понимаю, что многие методологии рассматривают довольно длительные исторические процессы и сложно провести какой-то «эксперимент» по открытию чего-то нового в науке. Но всё же как было бы здорово и гораздо убедительнее, если бы эти философы сначала объяснили свою методологию, а потом написали что-то вроде протокольных высказываний: «Смотрите, я начинаю работать в такой-то области. У меня возникла такая-то проблема. Я пытаюсь решить её таким-то способом и это согласуется с таким-то пунктом моей методологии. Вот, наконец, мне удалось придумать теорию. Появились такие-то контрпримеры…» и т. д. и т. п., чтобы и открытие было не слишком маленьким, и чтобы методология подтверждалась.

Имре Лакатос. Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы)

В электронном виде можно найти например здесь.

Очень доступная для понимания работа Лакатоса. Я бы порекомендовал её и старшеклассникам.

Вся работа построена на рациональной реконструкции истории доказательств теоремы Эйлера о многогранниках. Сама теорема в самой простой формулировке звучит так:
если V — число вершин многогранника, E — число рёбер, а F — число граней этого многогранника, то выполняется соотношение V - E + F = 2.

Изначально эта теорема была открыта Декартом в 1640 году, но была забыта на более чем сто лет и заново открыта Эйлером в 1752 году. Далее последовало много контрпримеров (например, куб, на который поставлен меньший куб), которые заставили либо менять смысл понятия «многогранник», либо тем или иным образом менять и теорему, и доказательства. Кто-то пытался ограничиться только выпуклыми многогранниками, но это не объясняло существование невыпуклых многогранников (которые, можно, например, получить деформацией выпуклых, не изменяя вышеупомянутого соотношения), которые удовлетворяют данной теореме. В итоге стало понятно, что эта теорема имеет большее отношение к топологическим свойствам объектов (а можно найти приложение и в теории графов), а не к «многогранникам» как таковым.

Сама книга построена следующим образом. В комнате находятся Учитель и ученики (Альфа, Бета, Мю и другие). Между ними идёт диалог, развитие которого в какой-то мере воссоздаёт историю развития взглядов математиков на саму теорему и смежным с нею понятиям (то, что происходило на самом деле в мире математиков, даётся в обширных подстрочных комментариях), но в то же время главными темами этого обсуждения становится не теорема. Данная теорема для Лакатоса — просто вспомогательный материал, на котором можно продемонстрировать то, как менялись взгляды математиков на то, что такое «доказательство», «опровержение», в каком направлении движется наука, когда встречается со сложностями и т. д. и т. п. В книге показывается, как из-за проблем языка, на котором формулируется теорема и доказательства, это доказательство становится «неверным», если прибегнуть к другому языку, где понятия первого языка имеют другое, более точное и специфичное значение, и как это может вести к бесконечному регрессу.

Также книга хороша тем, что показывает читателю, что математика вовсе не «точная наука», как многие ошибочно считают. В ней могут встречаться затруднения и заблуждения того же рода, которые могут, например, проявляться в физике.

Лакатос не ставит в конце работы жирную точку. Книга заканчивается следующим образом:

Сигма. Но ведь ничего не установлено. Мы не можем остановиться теперь.
Учитель. Сочувствую вам. Эта последняя стадия даст важные источники пищи для нашей дискуссии. Но научное исследование «начинается и кончается проблемами»^*. (Покидает классную комнату).
Бета. Но вначале у меня не было проблем! А теперь у меня нет ничего, кроме проблем.

^* Popper K. R. Science: problems, aims, responsibilities // Federation Am. Soc. Exp. Biol. Federation Proc., 1963, v. 22, p. 968

Имре Лакатос. История науки и её рациональные реконструкции

В электронном виде в полном виде нету.

Имре Лакатос (поставил ударение, т. к. слышал, что некоторые люди ставят его неправильно) известен своей методологией научно-исследовательских программ. Она является развитием идей фальсификационизма Поппера (заключается в том, что не бывает окончательных теорий, есть только выдвигаемые гипотезы, для которых нужно искать не подтверждения, а напротив, пытаться фальсифицировать их, заранее придумать некий эксперимент, который мог бы опровергнуть данную гипотезу. До той поры, пока этого не удаётся сделать это, теория развивается. Как только она сфальсифицирована, необходимо отказаться от неё). Сам Лакатос называл её утончённым фальсификационизмом.

Вкратце суть этой методологии в следующем. Каждую теорию Лакатос называет научно-исследовательской программой, которая состоит из «жёсткого ядра» — основополагающих идей этой теории — и «предохраняющего пояса» вспомогательных теорий, которые помогают разрешать различные аномальные, исключительные случаи. Для заданного направления исследований обычно существует несколько различных научно-исследовательских программ и лидирует среди них та, которая может предсказать как можно больше фактов. Если же теория объясняет факты post factum, она является менее научной. Когда предсказательная сила теории ослабевает, можно остановиться, попытаться объяснить замеченные аномалии и даже превратить их в подтверждающие примеры. Если же кризис программы будет продолжаться, её место займёт другая конкурирующая программа.
Таким образом, данная методология решает многие вопросы, с которыми не справляется фальсификационизм (в частности то, что учёные не отказываются сразу от тех своих теорий, которые были сфальсифицированы, а продолжают работать дальше в надежде, что удастся объяснить противоречия).

Данная статья написана в 1972 году, за два года до смерти Лакатоса (он умер в 1974 году от кровоизлияния в мозг, когда ему был 51 год), уже после того, как Лакатос написал свою известную работу «Фальсификация и методология научно-исследовательских программ» (о ней я тоже напишу). Лакатос начинает работу с перефразировки Канта: «Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа». Далее развивается идея о том, что каждый, кто занимается рациональной реконструкцией науки, явно или неявно придерживается той или иной методологии, которая диктует ему то, какие факты более значимы, а какие нет.

Лакатос рассматривает четыре подхода: индуктивизм (мы основываем свои гипотезы, основываясь на [часто] повторяющихся фактах, эмпирическом материале, движемся от частного к общему), конвенционализм (научный прогресс состоит в построении более простых теорий, которые связывают факты воедино; конвенционализм принимает возможность существования ложных теорий, из которых могут следовать верные выводы), фальсификационизм и методология научно-исследовательских программ. Первые три подхода он всячески критикует (мне очень понравилась та часть работы, где Лакатос применяет методы фальсификационизма к самому фальсификационизму и к первым двум подходам и показывает их слабые места, а затем применяет свою методологию ко всем четырём подходам).

Развитие науки объясняется внутренней и внешней историей. Ко внутренней истории относится то, что происходило непосредственно в науке, а ко внешней — экономические, политические и другие факторы. Лакатос показывает, что его методология позволяет объяснить большее количество фактов с помощью внутренней истории. В целом, конечно, в этой работе большее внимание уделено всё-таки философии науки, а не истории науки. Но после прочтения действительно понимаешь, что философия науки и история науки должны тесно сотрудничать между собой.

Сам Лакатос выбирает для рациональной реконструкции такой подход. Для истории науки делается рациональная реконструкция, которая использует методологию для объяснения тех или иных сдвигов парадигм и т. д., а реально происходившие события (которые могут и не совпадать с реконструкцией по причине влияния внешней истории) даются в «подстрочных комментариях». Сам Лакатос осуществил данный подход в крайне занимательной (её гораздо легче читать, чем ту работу, о которой сейчас речь) книге «Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы)» (о ней я тоже напишу на днях).

P. S. При чтении книг по философии науки меня крайне удивляет тот факт, что философы в основном пытаются ответить на вопрос как развивается наука, а не на то зачем вообще нужно это развитие. Изредка пишут о поиске истины, но полноценного исследования на эту тему я ещё не встречал. Похоже, что есть некоторая самоочевидная причина, по которой это нужно делать, поэтому они её и не упоминают. Если кто-то знает, где найти материалы по данной теме, ткните, пожалуйста, носом.

Добавил счётчик FeedBurner

Он висит в правом верхнем углу. Подписываться на RSS лучше через него.

Хьюберт Дрейфус. Чего не могут вычислительные машины

скачать zip-архив с html-версией книги внутри
(К сожалению не удалось найти эту книгу на английском языке, а на русском нашёлся только этот электронный вариант. Он не очень хорошо распознан, вдобавок текст сносок перемешан с основным текстом, но читать всё же можно.)

Эта книга вышла в оригинале в 1972 году (под названием «What Computers Can’t Do»), а русский перевод появился в 1976 году. Её автор, Хьюберт Дрейфус, специализируется на философии искусственного интеллекта. Он очень критично настроен по отношению к возможности создания искусственного интеллекта, о чём и пишет в данной книге, объясняя, чем вызвана его позиция.

Большую часть этой книги занимает критика пионерских работ в области ИИ, которые проводились в середине 50-60-х годов 20 века. Это работы Саймона, Ньюэлла (см. статью о программе General Problem Solver), Шоу, Минского, Самюэля (создателя шашечной программы) и др. В этой связи, конечно, интересно проследить оптимистичные предсказания исследователей того времени и маловпечатляющие результаты, которых удалось добиться. С другой стороны, по этой же причине в книге часто встречаются заявления о чрезмерной слабости шахматных программ (что было правдой на тот момент) и т. п.

По сути, Дрейфус критикует только тот подход к ИИ, который принято называть GOFAI. При этом он много внимания уделяет биологическому аспекту человека, придумывая различную аргументацию, почему человеческое мышление не может быть промоделировано (что оно в принципе неформализуемо, что большую роль играет тело человека, благодаря которому у человека есть некоторые изначально заданные цели, что может оказаться так, будто вычислительная сложность мозга человека слишком велика, что человек в принципе не может понять такую сложную вещь, как собственное мышление и др.)

В своё время эта книга вызвала большую полемику, во многом это объяснялось тем, что автор претендует на то, что в деталях понимает, как устроены те или иные программы и может говорить с изобретателями ИИ на их языке. На деле оказывается, что в каких-то случаях его взгляд оказывается слишком поверхностным.

Сам автор вначале книги пишет о том, как полезна критика. Поэтому очень здорово, что в конце книги приведены комментарии по поводу высказываний Дрейфуса и заключительная статья «Что же могут вычислительные машины?» Б. В. Бирюкова, в этом материале содержится некоторая критика взглядов Дрейфуса. Но нам, читателям, и к данному материалу также надо относиться критически :-)

P. S. В 1992 году, спустя более 20 лет после первого издания, вышло третье издание данной книги, которая озаглавлена «What Computers Still Can’t Do». Было бы интересно посмотреть, как трансформировались взгляды Дрейфуса за это время. Дайте знать, если у кого-то из вас есть эта книга.

Новые записи в блоге

Привет. Если кто-то вдруг читает этот блог и заметил, что он не обновляется, спешу сообщить, что с завтрашнего дня всё появится. Пока.